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Bisher wurden Funkionen diskutiert, die einem Objekt eindeutig ein anderes Objekt zuordnen, die somit – mathematisch betrachtet – jedem x-Wert aus einer Definitionsmenge einen y-Wert zuweisen. Diese Beschränkung auf einzelne Objekte ist jedoch nicht zwingend, daher werden wir in dieser Veranstaltung den Blick auf mehrdimensionale Funktionen weiten. Dabei belassen wir es im Wesentlichen bei Fällen, in denen einem Paar von Objekten – beispielsweise zwei Zahlen x und y – eine Zahl z zugeordnet wird. Auch diese Einschränkung ist natürlich willkürlich, hat aber den unbestreitbaren Vorteil, dass solche Zuordnungen noch im Raum anschaulich-grafisch dargestellt werden können. Der Graph einer solchen Funktion ist nun keine Linie mehr, sondern eine nicht notwendiger Weise ebene Fläche. Es gilt dann, die seither in der Analysis behandelten wesentlichen Konzepte wie Steigung und Extrempunkte in die neue Sichtweise zu übertragen. Im zweiten Teil der Veranstaltung werden wir wenigstens ansatzweise einen Blick in die Welt der Differenzialgleichungen wefen. Solche Gleichungen sind aus der technisch-physikalischen Welt nicht mehr wegzudenken und heute in vielen Anwendungsbebieten anzutreffen, so dass wir uns wenigstens einen orientierenden Überblick verschaffen und einfache Lösungsmethoden kennen lernen werden. In diesen durchaus komplexen Themen werden wir den Computer wieder gewinnbringend einsetzen. Während man den Graph einer eindimensionalen Funktion noch näherungsweise aus dem Handgelenk zeichnen kann, wird dies bei der Darstellung zweidimensionaler Funktionen schon deutlich schwieriger und aufwändiger. Zudem steigt der Rechenaufwand beträchtlich, wenn es darum geht, Steigungen und Extrempunkte festzustellen. Bis auf ganz einfache Fälle lassen sich Differenzialgleichungen kaum mehr von Hand lösen und für die meisten Differenzialgleichungen gibt es gar keine analytischen Lösungen mehr, hier kommt man ohnehin nur numerisch zum Ziel. Sie sollen somit auch erfahren, wie Computer-Algebrasysteme bei der Bewältigung der neuen Problemstellungen helfen können. Wir tun dies alles in der für Sie zwischenzeitlich sicher gewohnten hochschuldidaktischen Form des inverted classrooms. Über die Gründe hierfür können Sie auf der übergeordneten Seite nachlesen. Zu dieser Veranstaltung müssen Sie sich - wie für alle Mathematik-Veranstaltungen - in Moodle anmelden und erhalten dort alle relevanten Materialien: Ein ausführliches Skript mit weiteren Literaturhinweisen, Powerpoint-Präsentationen und ein Übungsblatt für jede Woche der Vorlesungszeit. Mit all diesen Materialien sollen Sie sich die Thematik selbst erarbeiten. Den Grad Ihrer eigenen Durchdringung können Sie anhand der Übungsaufgaben feststellen. Manche dieser Aufgaben werden Sie problemlos lösen können, manche erst mit Anstrenungung und nach mehreren Anläufen und es mag auch sein, dass Sie bei einem Teil nicht zur Lösung vorstoßen werden. In diesem Fall sollten Sie Ihre Lösungsansätze notieren und diese, wie auch all Ihre weiteren Fragen und offenen Probleme, in die Präsenzveranstaltungen mitbringen, wo Sie diese dann zusammen mit Ihren Kommilitoninnen und Komilitonen diskutieren und damit einer Lösung näherbringen können. Dabei unterstütze ich Sie selbstverständlich! Unterstützen heisst dabei, dass ich versuche, Sie durch Hinweise und Rückfragen auf die richtige Spur zu bringen. Unterstützen heisst allerdings nicht, dass ich Ihnen die Lösungen nennen werde. Ich gebe grundsätzlich keine Lösungen heraus, weil ich damit jedwede Anstrengung von Ihnen und jegliche fruchtbaren Momente von vorne herein abtöte. Im Übrigen gibt es für das Leben auch kein Lösungsbuch, mit dessen Hilfe Sie die Herausforderungen des Daseins einfach bewältigen könnten. Skript zur Analysis II (Teil I) |
